Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明

【解析】

（1）求出，即在恒成立，即對(duì)恒成立；

（2）當(dāng)時(shí)，方程，令，則有；不妨設(shè)，則，，，.

解：（1），

∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴在恒成立，即對(duì)恒成立，

∴對(duì)恒成立，即，，

令，則，

∴在上單調(diào)遞減，

∴在上的最大值為.

∴的取值范圍是.

（2）∵當(dāng)時(shí)，方程，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增，

∴.

若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則有，即，

當(dāng)時(shí)，，

，

，令，

則，單調(diào)遞增，，

∴，∴原方程有兩個(gè)不等實(shí)根，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.

不妨設(shè)，則，，

∴，

∵，

∴

,

.

令，則，

∴在上單調(diào)遞增，

∴當(dāng)時(shí)，，即，

∴，∴.