【題目】如圖所示，在三棱錐
中，
與
都是邊長為2的等邊三角形，
是側棱
的中點，過點作平行于
、
的平面分別交棱
、
、
于點
、
、
.
（1）證明：四邊形
為矩形；
（2）若平面
平面
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）設
的中點為
，連接
，
，由線面平行的性質定理，分別證得
和
，得到四邊形
為平行四邊形，再由線面垂直的性質定理，證得
，即可得到答案。
（2）以為原點建立如圖的空間直角坐標系
，分別求得平面和平面
的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解。
（1）如圖，設的中點為，連接，，
∵
平面，平面
平面
，平面
平面
，
∴
，
，∴.
同理，由
平面得，∴四邊形為平行四邊形.
∵
與
都是等邊三角形，∴
，
，
又
，∴
平面
，故
，
又由上知
，，∴，∴四邊形為矩形.
（2）∵平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，∴
平面，∴，
，兩兩垂直，
以為原點建立如圖的空間直角坐標系，
∵與都是邊長為2的等邊三角形，
∴
，
，
，
，
∴
，
，
，
設平面的法向量為
，
由
，令
，得
.
同理可得平面的法向量
，
∴
.
由圖形可知，所求二面角的平面角為銳角，∴二面角
的余弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
（
）．點
在上，
，△
的周長為
，面積為
．
（1）求的方程；
（2）過
的直線
與交于
兩點，以為直徑的圓與直線
相切，求直線的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】石嘴山市第三中學高三年級統計學生的最近20次數學周測成績（滿分150分），現有甲乙兩位同學的20次成績如莖葉圖所示:
（1）根據莖葉圖求甲乙兩位同學成績的中位數，并將同學乙的成績的頻率分布直方圖填充完整；
（2）根據莖葉圖比較甲乙兩位同學數學成績的平均值及穩定程度（不要求計算出具體值，給出結論即可）；
（3）現從甲乙兩位同學的不低于140分的成績中任意選出2個成績，記事件
為“其中2個成績分別屬于不同的同學”，求事件發生的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】基于移動網絡技術的共享單車被稱為“新四大發明”之一，短時間內就風靡全國，給人們帶來新的出行體驗，某共享單車運營公司的市場研究人員為了了解公司的經營狀況，對公司最近6個月的市場占有率
進行了統計，結果如下表：
月份 | 2018.11 | 2018.12 | 2019.01 | 2019.02 | 2019.03 | 2019.04 |
月份代碼 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 11 | 13 | 16 | 15 | 20 | 21 |
（1）請用相關系數說明能否用線性回歸模型擬合
與月份代碼
之間的關系.如果能，請計算出關于的線性回歸方程，如果不能，請說明理由；
（2）根據調研數據，公司決定再采購一批單車擴大市場，從成本1000元/輛的
型車和800元/輛的
型車中選購一種，兩款單車使用壽命頻數如下表：
| 1年 | 2年 | 3年 | 4年 | 總計 |
| 10 | 30 | 40 | 20 | 100 |
| 15 | 40 | 35 | 10 | 100 |
經測算，平均每輛單車每年能為公司帶來500元的收入，不考慮除采購成本以外的其它成本，假設每輛單車的使用壽命都是整數年，用頻率估計每輛車使用壽命的概率，以平均每輛單車所產生的利潤的估計值為決策依據，如果你是公司負責人，會選擇哪款車型？
參考數據：
，
，
，
.
參考公式：相關系數
，
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊狀的鍥體，下底面寬3丈，長4丈，上棱長2丈，高2丈，問：它的體積是多少？”（已知1丈為10尺）該鍥體的三視圖如圖所示，則該鍥體的體積為（ ）
A. 12000立方尺B. 11000立方尺
C. 10000立方尺D. 9000立方尺
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的焦距等于
,短軸與長軸的長度比等于
.
（1）求橢圓
的方程;
（2）設點
在橢圓上,過
作兩直線
,分別交橢圓于另外兩點
,當的傾斜角互為補角時,求
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某調查機構對某校學生做了一個是否同意生“二孩”抽樣調查，該調查機構從該校隨機抽查了100名不同性別的學生，調查統計他們是同意父母生“二孩”還是反對父母生“二孩”，現已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，統計情況如下表：
同意 | 不同意 | 合計 | |
男生 | a | 5 | |
女生 | 40 | d | |
合計 | 100 |
（1）求 a，d 的值；
（2）根據以上數據，能否有97.5%的把握認為是否同意父母生“二孩”與性別有關?請說明理由；
附：
| 0.15 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩名大學生因為學習需要，欲各自選購一臺筆記本電腦，他們決定在A，B，C三個品牌的五款產品中選擇，這五款筆記本電腦在某電商平臺的價格與銷量數據如表所示：
品牌 | A | B | C | ||
型號 | A﹣1 | A﹣2 | B﹣1 | B﹣2 | C﹣1 |
價格（元） | 6000 | 7500 | 10000 | 8000 | 4500 |
銷量（臺） | 1000 | 1000 | 200 | 800 | 3000 |
（Ⅰ）若甲選擇某品牌的筆記本電腦的概率與該品牌的總銷量成正比，求他選擇B品牌的筆記本電腦的概率；
（Ⅱ）若甲、乙兩人選擇每種型號的筆記本電腦的概率都相等，且兩人選購的型號不相同，求他們兩人購買的筆記本電腦的價格之和大于15000元的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校高二理科8班共有50名學生參加學業水平模擬考試，成績（單位：分，滿分100分）大于或等于90分的為優秀，其中語文成績近似服從正態分布
，數學成績的頻率分布直方圖如圖.
（I）這50名學生中本次考試語文、數學成績優秀的大約各有多少人？
（Ⅱ）如果語文和數學兩科成績都優秀的共有4人，從語文優秀或數學優秀的這些同學中隨機抽取3人，設3人中兩科都優秀的有
人，求的分布列和數學期望；
（Ⅲ）根據（I）（Ⅱ）的數據，是否有99%以上的把握認為語文成績優秀的同學，數學成績也優秀？
附：①若~
，則
，
；
②
；
③
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