Question

【題目】如圖，在四棱錐中，, 是等邊三角形，E是PA的中點，.

(1)求證：；

(2)求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)3.

【解析】

（1）取AD中點F，連接BF，EF，結合已知證得AD⊥EF，又△ABC是正三角形，得AD⊥BF，由線面垂直的判定可得AD⊥平面BEF，進一步得到AD⊥BE；

（2）由AD∥BC，∠BCD＝90°，得AD⊥CD，再由AD⊥PD，得AD⊥平面PCD，可得平面ABCD⊥平面PCD，過點P作PH⊥CD，交CD的延長線于點H，則PH⊥平面ABCD，求解直角三角形PDH得PH，再由棱錐體積公式求三棱錐P﹣ABD的體積．

（1）證明：取的中點，連接，，

∵，分別是，的中點，，

∴.

又是正三角形，

∴.

∵，，平面

∴平面

又平面

∴

（2）∵，，

∴.

又，，，平面

∴平面.

∵平面，

∴平面平面.

過點作，交延長線于點，則平面.

在直角三角形中，，，

∴，

∴.