Question

【題目】函數f（x）是定義在R上的奇函數，且f（x﹣1）為偶函數，當x∈[0，1]時， ，若函數g（x）=f（x）﹣x﹣b恰有一個零點，則實數b的取值集合是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵f（x）是定義在R上的奇函數，且f（x﹣1）為偶函數， ∴f（﹣x﹣1）=f（x﹣1）=﹣f（x+1），
即f（x）=﹣f（x+2），
則f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函數f（x）的周期是4，
∵f（x﹣1）為偶函數，∴f（x﹣1）關于x=0對稱，
則f（x）關于x=﹣1對稱，同時也關于x=1對稱，
若x∈[﹣1，0]，則﹣x∈[0，1]，
此時f（﹣x）= =﹣f（x），則f（x）=﹣ ，x∈[﹣1，0]，
若x∈[﹣2，﹣1]，x+2∈[0，1]，
則f（x）=﹣f（x+2）=﹣ ，x∈[﹣2，﹣1]，
若x∈[1，2]，x﹣2∈[﹣1，0]，
則f（x）=﹣f（x﹣2）= = ，x∈[1，2]，
作出函數f（x）的圖像如圖：

由數g（x）=f（x）﹣x﹣b=0得f（x）=x+b，
由圖像知當x∈[﹣1，0]時，由﹣ =x+b，平方得x2+（2b+1）x+b2=0，
由判別式△=（2b+1）2﹣4b2=0得4b+1=0，得b=﹣ ，此時f（x）=x+b有兩個交點，
當x∈[4，5]，x﹣4∈[0，1]，則f（x）=f（x﹣4）= ，
由 =x+b，平方得x2+（2b﹣1）x+4+b2=0，
由判別式△=（2b﹣1）2﹣16﹣4b2=0得4b=﹣15，得b=﹣ ，此時f（x）=x+b有兩個交點，
則要使此時f（x）=x+b有一個交點，則在[0，4]內，b滿足﹣ ＜b＜﹣ ，
即實數b的取值集合是4n﹣ ＜b＜4n﹣ ，
即4（n﹣1）+ ＜b＜4（n﹣1）+ ，
令k=n﹣1，
則4k+ ＜b＜4k+ ，
故選：D
【考點精析】關于本題考查的函數奇偶性的性質，需要了解在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能得出正確答案．