Question

【題目】如圖，在半徑為常量，圓心角為變量的扇形內作一內切圓，再在扇形內作一個與扇形兩半徑相切并與圓外切的小圓，設圓的半徑為，則的半徑為.

（1）求的取值范圍；

（2）求圓面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）在直角三角形中，即可用表示圓的半徑，同理可以表示出，相加可得，再根據對勾函數的性質求得其取值范圍；

（2）令，，利用導數的性質能求出圓的半徑的最大值即可求出面積的最大值．

解：（1）如圖，在直角三角形中

因為半徑為1，所以，所以

在直角三角形中

因為半徑為1，所以，所以

，，

即

（2）由（1）可知

令，則，

令，得，

當時，，即在上單調遞增；

當時，，即在上單調遞減；

所以當時取得極大值即最大值，

即存在為銳角，當時，圓半徑取得最大值．

所以