Question

【題目】已知是函數的切線，則的最小值為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據題意，設切線的坐標為（m，lnm+m），求出函數f（x）的導數，由導數的幾何意義可得切線的方程，分析可得k1，b＝lnm﹣1，代入化簡得到lnm1，設g（m）＝lnm1，求出g′（m），利用函數的導數與單調性的關系，分析可得g（m）的最小值，即可得答案．

根據題意，直線y＝kx+b與函數f（x）＝lnx+x相切，設切點為（m，lnm+m），

函數f（x）＝lnx+x，其導數f′（x）1，則f′（m）1，

則切線的方程為：y﹣（lnm+m）＝（1）（x﹣m），變形可得y＝（1）x+lnm﹣1，

又由切線的方程為y＝kx+b，

則k1，b＝lnm﹣1，

則2k+b2+lnm﹣1＝lnm1，

設g（m）＝lnm1，其導數g′（m），

在區間（0，2）上，g′（m）＜0，則g（m）＝lnm1為減函數，

在（2，+∞）上，g′（m）＞0，則g（m）＝lnm1為增函數，

則g（m）min＝g（2）＝ln2+2，即2k+b的最小值為ln2+2；

故答案為：ln2+2．