Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

Ⅰ當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

Ⅱ當(dāng)時(shí)，若在區(qū)間上的最小值為，求a的取值范圍；

Ⅲ若，，且，恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）.

【解析】

Ⅰ 求出,由的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出的值，可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程；Ⅱ確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，即可求的取值范圍；Ⅲ設(shè)，則，對(duì)任意，，，且恒成立，等價(jià)于在上單調(diào)遞增，由此可求的取值范圍．

Ⅰ當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?/span>，，所以切線方程為

Ⅱ函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．

當(dāng)時(shí)，，

令，即，所以或

當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，

所以在上的最小值是；

當(dāng)時(shí)，在上的最小值是，不合題意；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，

所以在上的最小值是，不合題意

綜上可得

Ⅲ設(shè)，則，對(duì)任意，，，且恒成立，等價(jià)于在上單調(diào)遞增.

而，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，只需在恒成立，因?yàn)?/span>，只要，則需要，

對(duì)于函數(shù)，過(guò)定點(diǎn)，對(duì)稱軸，只需，即

綜上可得