Question

【題目】已知橢圓：的焦距為，點在橢圓上，且的最小值是（為坐標原點）.

（1）求橢圓的標準方程.

（2）已知動直線與圓：相切，且與橢圓交于，兩點.是否存在實數，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在

【解析】

（1）根據焦距和橢圓的幾何意義即可求出橢圓標準方程；

（2）分別對斜率不存在和斜率存在兩種情況討論，相切即圓心到直線距離等于半徑，即向量的數量積為零，進行代數運算即可求解.

（1）因為的最小值是，所以，

因為橢圓的焦距為，所以，即，

所以，

故橢圓的標準方程是；

（2）①當直線的斜率不存在時，

因為直線與圓相切，所以直線的方程為，

則直線與橢圓的交點為或，

因為，所以，所以，即，

②當直線的斜率存在時，可設直線的方程為，，.

聯立，整理得，

則，，

因為，在直線上，所以，

將，代入上式，得，

因為，所以，即，

因為動直線與圓相切，所以，所以，即，

綜上，存在，使得.