Question

【題目】已知橢圓的焦距為2，且長軸長是短軸長的倍.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若過橢圓左焦點的直線交橢圓于兩點，點在軸非負半軸上，且點到坐標原點的距離為2，求取得最大值時的面積.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意，解方程組即可；

（2）分直線垂直于軸和直線不垂直于軸兩種情況討論，當直線垂直于軸時，易得三點坐標，再利用數量積的坐標運算即可算得；當直線不垂直于軸時，設，，直線方程為，聯立橢圓方程得到根與系數的關系，代入的坐標表示中，即可得到關于的函數，求出范圍結合第一種情況即可得到取的最大值，進一步得到三角形的面積.

（1）據題意，得

解得，，

橢圓的標準方程為.

（2）據題設知，.

設，.

討論：

當直線垂直于軸時，，，或，，，

；

當直線不垂直于軸時，設直線方程為.

據得.

，，

.

綜上，，

此時.