Question

【題目】已知三棱錐的棱長均為6，其內有個小球，球與三棱錐的四個面都相切，球與三棱錐的三個面和球都相切，如此類推，…，球與三棱錐的三個面和球都相切（，且），則球的體積等于__________，球的表面積等于__________.

Answer 1

【答案】

【解析】

由正四面體的內切球的半徑是高的可求得的半徑，得其體積，把底面向上平移，平移到與內切球相切，這個平面以上的部分仍然是正四面體，而第二個球就是這個正四面體的內切球，此球半徑是第一個球半徑的一半，依次類推可得第個球．

如圖，是三棱錐的高，是的外心，設，則，，

是三棱錐的外接球和內切球的球心，在上，

設外接球半徑為，內切球半徑為，則由得，，所以，

，

，

過中點作與底面平行的平面與三條棱交于點，則平面與球相切，由題意球是三棱錐的內切球，注意到三棱錐的棱長是三棱錐棱長的，所以有其內切球半徑，同理球的半徑為，則是僅比為的等比數列，所以，即，

．

故答案為：；．