Question

【題目】已知是各項均為正數的無窮數列，數列滿足(n)，其中常數k為正整數．

（1）設數列前n項的積，當k＝2時，求數列的通項公式；

（2）若是首項為1，公差d為整數的等差數列，且＝4，求數列的前2020項的和；

（3）若是等比數列，且對任意的n，，其中k≥2，試問：是等比數列嗎？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）數列是等比數列．證明見解析

【解析】

（1）先求出，即得數列的通項公式；

（2）通過分析得到d＝1，得到，再求出k＝1，即得，再利用裂項相消法求數列的前2020項的和；

（3）設公比為q2，則對任意n，，由已知得到，證明得到，即得數列是等比數列．

解：（1）因為，所以，

兩式相除，可得，

當n＝1時，，符合上式，所以，

當k＝2時，；

（2）因為，且，

所以，，

所以，

因為是各項均為正數的無窮數列，是首項為1，公差d為整數的等差數列，

所以d，k均為正整數，所以，所以，

所以，解得d≤1，所以d＝1，即.

所以，即，解得k＝1，

所以，則，

記的前n項和為，

則，

所以；

（3）因為成等比數列，設公比為q2，則對任意n，，

因為，且，所以，所以，

因為，所以，

所以數列是等比數列．