Question

【題目】已知橢圓的一個焦點為，左右頂點分別為，經過點的直線與橢圓交于兩點.

（1）求橢圓方程；

（2）記與的面積分別為和，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1），（2）。

【解析】

試題分析：

（1）根據條件一個焦點坐標為，即，根據橢圓方程可以列出：，所以，于是可以求出橢圓方程為，本問考查橢圓方程的求法，屬于簡單題，為基礎知識的考查，容易得分；

（2）首先討論當直線斜率l不存在時，直線方程為，此時C,D兩點坐標可求，△ABD與△ABC面積相等，S1-S2=0，再討論當直線l斜率存在時，設為k，則直線l方程根據點斜式可以設為y=k（x+1）,聯立直線方程與橢圓方程，消去y，得到關于x的一元二次方程，判別式△>0顯然成立，設C（x1,y1）,D（x2,y2）,（y1y2<0）,可以得到，根據題意，，，所以

。從而求出的最大值。本問考查直線與橢圓的位置關系，要求學生有一定的分析能力和轉化能力，能夠利用函數、方程、不等式的思想求最值。

試題解析：

（1）因為為橢圓的焦點，所以，又，

所以，所以橢圓方程為.

（2）當直線無斜率時,直線方程為,此時

,,.

當直線斜率存在時，設直線方程為，設，

聯立得，消掉得，

顯然，方程有根，且.

此時

.

因為，上式，（時等號成立），

所以的最大值為.