Question

【題目】已知函數

（1）求的定義域.

（2）是否存在實數，使是奇函數？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

（3）在（2）的條件下，令，求證：

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：（1）若函數有意義，則應滿足，所以，則函數的定義域為；（2）根據第（1）問可知函數的定義域關于原點對稱，若為奇函數，則，即，整理有：，即，所以，即存在實數使函數為奇函數；（3），所以，由于函數為奇函數，所以函數為偶函數，圖象關于y軸對稱，因此只要證明出當x>0時，即可。當時，，，，所以問題得證。

試題解析：（1）由得：

∴的定義域為

（2）由于的定義域關于原點對稱，要使是奇函數，則對于定義域內任意一個，都有即：

解得：

∴存在實數，使是奇函數

（3）在（2）的條件下，，則

的定義域為關于原點對稱，且

則為偶函數，其圖象關于軸對稱。

當時，即又，

∴

當時，由對稱性得：分

綜上：成立。