Question

【題目】已知橢圓：經過點，離心率為.　

(1)求橢圓的標準方程；

(2)過坐標原點作直線交橢圓于、兩點，過點作的平行線交橢圓于、兩點．是否存在常數, 滿足？若存在，求出這個常數；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意可得，解得a2＝12，b2＝8，即可求出橢圓方程，

（2）設出直線l的方程為x＝my+2，代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，求出|AB|，再設直線x＝my，代入橢圓方程，化簡可得|OP|，再由計算即可得到所求常數λ．

（1）由題意可得，解得a2＝12，b2＝8，c2＝4，

故橢圓C的方程為1，

（2）設直線AB的方程為x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），

由

得（2m2+3）y2+8my﹣16＝0，

即有y1+y2，y1y2，

|AB|8，

設P（x3，y3），Q（x4，y4），

由x＝my代入橢圓方程可得

消去x，并整理得y2，

∴x2＝m2，

∴|OP|2，

∵|AB|＝λ|OP|2，

∴8λ，

∴λ

故存在常數λ，使得|AB|＝λ|OP|2