Question

【題目】已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，且當x＜0時，f（x）＝x2+2x．現已畫出函數f（x）在y軸左側的圖象如圖所示，

（1）畫出函數f（x），x∈R剩余部分的圖象，并根據圖象寫出函數f（x），x∈R的單調區間；（只寫答案）

（2）求函數f（x），x∈R的解析式．

Answer 1

【答案】（1）圖象見解析；遞減區間為（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；增區間為（﹣1，1）；

（2）f（x）．

【解析】

（1）根據題意，由奇函數的性質結合函數f（x）在y軸左側的圖象，即可補充函數圖象，據此寫出函數的單調區間即可得答案；

（2）根據題意，由奇函數的性質可得f（0）＝0，設x＞0時，則﹣x＜0，由函數的解析式可得f（﹣x），結合奇函數的性質可得f（x）的解析式，綜合即可得答案．

（1）根據題意，函數f（x）是定義在R上的奇函數，則其圖象如圖：

其遞減區間為（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；

增區間為（﹣1，1）；

（2）根據題意，函數f（x）是定義在R上的奇函數，則f（0）＝0，滿足f（x）＝x2+2x；

當x＞0時，則﹣x＜0，則f（﹣x）＝（﹣x）2+2（﹣x）＝x2﹣2x，

又由函數f（x）是定義在R上的奇函數，則f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+2x，

綜上：f（x）．