Question

【題目】在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n ．
（1）設(shè)bn= ，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．
（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵an+1=2an+2n，∴ ，

∴bn+1﹣bn=1．

∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為 =1，公差為1

（2）解：由（1）可得：bn=1+（n﹣1）=n，

∴ ，

∴ ，

∴數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1+2×2+3×22+…+n2n﹣1，

2Sn=2+2×22+3×23+…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n，

∴﹣Sn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n×2n= ﹣n×2n=（1﹣n）×2n﹣1．

∴Sn=（n﹣1）×2n+1

【解析】（1）由an+1=2an+2n ， 可得 ，即bn+1﹣bn=1．即可證明；（2）由（1）可得：bn=1+（n﹣1）=n， ，再利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
【考點(diǎn)精析】利用等差關(guān)系的確定和數(shù)列的前n項(xiàng)和對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．