Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，若圓x2+y2=a2被直線x﹣y﹣ =0截得的弦長(zhǎng)為2
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)A、B為動(dòng)直線y=k（x﹣1），k≠0與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)，問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得 為定值？若存在，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）圓x2+y2=a2的圓心（0，0）到直線x﹣y﹣ =0的距離d= =1，

∴2=2 ，解得a2=2，又 = ，a2=b2+c2，

聯(lián)立解得：a2=2，c=1=b．

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為： +y2=1．

（II）假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)M（m，0），使得 為定值．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立 ，化為：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

則x1+x2= ，x1x2= ．

=（x1﹣m，y1）（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣1）（x2﹣1）=（1+k2）x1x2﹣（m+k2）（x1+x2）+m2+k2

=（1+k2） ﹣（m+k2） +m2+k2

= ，

令2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m= ．

因此在x軸上存在定點(diǎn)M（ ，0），使得 為定值

【解析】（I）求出圓x2+y2=a2/span>的圓心（0，0）到直線x﹣y﹣ =0的距離d，利用2=2 ，解得a2，又 = ，a2=b2+c2，聯(lián)立解出即可得出．（II）假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)M（m，0），使得 為定值．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

利用根與系數(shù)的關(guān)系及其數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)可得 = ，令2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m即可得出．

【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：即可以解答此題．