Question

【題目】已知動員P過定點 且與圓N： 相切，記動圓圓心P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點D（3，0）且斜率不為零的直線交曲線C于A，B兩點，在x軸上是否存在定點Q，使得直線AQ，BQ的斜率之積為非零常數？若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設動圓P的半徑為r，由N： 及 ，知點M在圓N內，則有 ，

從而丨PM丨+丨PN丨=4＞丨MN丨=2 ，

∴P的軌跡C是以M，N為焦點，長軸長為4的橢圓，

設曲線C的方程為： （a＞b＞0），則2a=4，a=4，c= ，

b2=a2﹣c2=1

故曲線C的軌跡方程為 ；

（Ⅱ）依題意可設直線AB的方程為x=my+3，A（x1，y1），B（x2，y2）．，

由 ，整理得：（4+m2）y2+6my+5=0，則△=36m2﹣4×5×（4+m2）＞0，即m2＞4，

解得：m＞2或m＜﹣2，

由y1+y2=﹣ ，y1y2= ，x1+x2=m（y1+y2）+6= ，

x1x2=（my1+3）（my2+3）=m2y1y2+m（y1+y2）+9= ，

假設存在定點Q（t，0），使得直線AQ，BQ的斜率之積為非零常數，則

（x1﹣t）（x2﹣t）=x1x2﹣t（x1+x2）+t2= ﹣t× +t2= ，

∴kAQkBQ= = = ，

要使kAQkBQ為非零常數，當且僅當 ，解得t=±2，

當t=2時，常數為 = ，

當t=﹣2時，常數為 = ，

∴存在兩個定點Q1（2，0）和Q2（﹣2，0），使直線AQ，BQ的斜率之積為常數，

當定點為Q1（2，0）時，常數為 ；當定點為Q2（﹣2，0）時，常數為

【解析】（Ⅰ）由題意可知丨PM丨+丨PN丨=4＞丨MN丨=2 ，則P的軌跡C是以M，N為焦點，長軸長為4的橢圓，則a=4，c= ，b2=a2﹣c2=1，即可求得橢圓方程；（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，考查韋達定理，直線的斜率公式，當且僅當 ，解得t=±2，代入即可求得，定點的坐標．