Question

【題目】四棱錐P﹣ABCD底面是一個棱長為2的菱形，且∠DAB=60°，各側面和底面所成角均為60°，則此棱錐內切球體積為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：四棱錐P﹣ABCD底面是一個棱長為2的菱形，且∠DAB=60°，△ADB，△DBC都是正三角形，邊長為2，三角形的高為： ．

由題意設內切球的半徑為r，

四棱錐的高為：h，∴h= = ，斜高為：

棱錐的體積為：V= S底h= = ．

連結球心與底面的四個頂點，組成5個三棱錐，題目的體積和就是四棱錐的體積，

∴S全=4× +2×2sin60°=6 ．

∴ = ，

r= ．

球的體積為： = = ．

所以答案是：

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解棱錐的結構特征的相關知識，掌握側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方，以及對球內接多面體的理解，了解球的內接正方體的對角線等于球直徑;長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長．