Question

【題目】如果存在常數a，使得數列{an}滿足：若x是數列{an}中的一項，則a﹣x也是數列{an}中的一項，稱數列{an}為“兌換數列”，常數a是它的“兌換系數”．
（1）若數列：2，3，6，m（m＞6）是“兌換系數”為a的“兌換數列”，求m和a的值；
（2）已知有窮等差數列{bn}的項數是n0（n0≥3），所有項之和是B，求證：數列{bn}是“兌換數列”，并用n0和B表示它的“兌換系數”；
（3）對于一個不少于3項，且各項皆為正整數的遞增數列{cn}，是否有可能它既是等比數列，又是“兌換數列”？給出你的結論，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為2，3，6，m（m＞6）是“兌換系數”為a的“兌換數列”

所以a﹣m，a﹣6，a﹣3，a﹣2也是該數列的項，且a﹣m＜a﹣6＜a﹣3＜a﹣2，

故a﹣m=2，a﹣6=3，即a=9，m=7

（2）證明：設數列{bn}的公差為d，

因為數列{bn}是項數為n0項的有窮等差數列

若b1≤b2≤b3≤…≤b ，則a﹣b1≥a﹣b2≥a﹣b3≥…≥a﹣b ，

即對數列{bn}中的任意一項bi（1≤i≤n0），a﹣bi=b1+（n0﹣i）d=b +1﹣i∈{bn}

同理可得：b1≥b2≥b3≥…≥b ，a﹣bi=b1+（n0﹣i）d=b +1﹣i∈{bn}也成立，

由“兌換數列”的定義可知，數列{bn}是“兌換數列”；

又因為數列{bn}所有項之和是B，所以B= = ，即a=

（3）解：假設存在這樣的等比數列{cn}，設它的公比為q（q＞1），

因為數列{cn}為遞增數列，所以c1＜c2＜c3＜…＜cn，則a﹣c1＞a﹣c2＞a﹣c3＞…＞a﹣cn，

又因為數列{cn}為“兌換數列”，則a﹣ci∈{cn}，所以a﹣ci是正整數

故數列{cn}必為有窮數列，不妨設項數為n項，則ci+cn+1﹣i=a（1≤i≤n）

①若n=3，則有c1+c3=a，c2= ，又c22=c1c3，由此得q=1，與q＞1矛盾

②若n≥4，由c1+cn=c2+cn﹣1，得c1﹣c1q+c1qn﹣1﹣c1qn﹣2=0

即（q﹣1）（1﹣qn﹣2）=0，故q=1，與q＞1矛盾；

綜合①②得，不存在滿足條件的數列{cn}

【解析】（1）根據數列：2，3，6，m（m＞6）是“兌換系數”為a的“兌換數列”所以a﹣m，a﹣6，a﹣3，a﹣2也是該數列的項，且a﹣m＜a﹣6＜a﹣3＜a﹣2，由此可求m和a的值；（2）由“兌換數列”的定義證明數列{bn}是“兌換數列”，即證對數列{bn}中的任意一項bi（1≤i≤n0），a﹣bi=b1+（n0﹣i）d=bn0+1﹣i∈{bn}，從而可求數列{bn}所有項之和；（3）假設存在這樣的等比數列{cn}，設它的公比為q（q＞1），可知數列{cn}必為有窮數列，不妨設項數為n項，則ci+cn+1﹣i=a（1≤i≤n），再分類討論，即可得到結論．