Question

已知函數， 在上為增函數，且，求解下列各題：
（1）求的取值范圍；
（2）若在上為單調增函數，求的取值范圍；
（3）設，若在上至少存在一個，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）； （3）

試題分析：（1）在上為增函數，則在上恒成立，即在上恒成立.由于分母恒大于0，故在上恒成立，而這只需 的最小值即可.由此可得的取值范圍；
（2）在上為單調增函數，則其導數大于等于0在恒成立，變形得在恒成立.與（1）題不同的是，這里不便求的最小值，故考慮分離參數，即變形為.這樣只需大于等于的最大值即可.而，所以；
（3）構造新函數＝，這樣問題轉化為：在上至少存在一個，使得成立，求的取值范圍．而這只要的最大值大于0即可.
試題解析：（1）∵在上為增函數
∴在上恒成立，即在上恒成立
又
∴在上恒成立                     2分
只須，即，由有            3分
　　　 ∴                        4分
（2）由（1）問得

在上為單調增函數
在恒成立                      6分
∴即，而
在恒成立時有，即函數在上為單調增函數時，的范圍為；                       8分
（3）由（1）問可知，，可以構造新函數＝              10分
①.當時，，
所以在上不存在一個，使得成立．        11分
②.當時， 
∵　　　∴，，所以在恒成立．
故在上單調遞增，
∴只需滿足，解得                13分
故的取值范圍是                      14分