Question

已知函數，其中.
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）若直線是曲線的切線，求實數的值；
（Ⅲ）設，求在區間上的最小值.（為自然對數的底數）

Answer 1

(Ⅰ)的單調遞減區間是和，單調遞增區間是；(Ⅱ)；
（Ⅲ）當時，最小值為；當時，的最小值=；當時，最小值為.

試題分析：（Ⅰ）根據函數求解導數，然后令導數大于零或者小于零得到單調區間；
（Ⅱ）根據給定的切線方程得到切點的坐標，進而得到參數的值；
（Ⅲ）對于函數的最值問題，根據給定的函數，求解導數，運用導數的符號判定單調性，和定義域結合得到最值.
試題解析：（Ⅰ），（），                        2分
在區間和上，；在區間上，.
所以，的單調遞減區間是和，單調遞增區間是. 4分
(Ⅱ）設切點坐標為，則          6分（1個方程1分）
解得，.                                  7分
（Ⅲ），
則，                                  8分
解，得，
所以，在區間上，為遞減函數，
在區間上，為遞增函數.                     9分
當，即時，在區間上，為遞增函數，
所以最小值為.                       10分
當，即時，在區間上，為遞減函數，
所以最小值為.               11分
當，即時，最小值
=.
綜上所述，當時，最小值為；當時，的最小值=；當時，最小值為.    12分