Question

設，函數.
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）求函數的單調區間；
（3）當時，求函數在上的最小值.

Answer 1

（1）切線方程為；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：（1）將代入函數的解析式，利用導函數的幾何意義，結合直線的點斜式求出切線的方程；（2）先求出函數的導數，并求出方程的根，對是否在定義域內進行分類討論，從而確定函數的增區間和減區間；（3）對是否在區間內進行分類討論，從而確定函數的最小值，注意時，函數最小值的可能值為或，這時可對兩式的值作差確定大小，從而確定兩者的大小，從而確定函數在上的最小值.
試題解析：在區間上，，
（1）當時，，則切線方程為，即；
（2）①當時，，故函數為增函數，即函數的單調遞增區間為；
②當時，令，可得，
當時，；當，，
故函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；
（3）①當時，即當時，函數在區間上是減函數，
的最小值是；
②當時，即當時，函數在區間上是增函數，
的最小值是；
③當時，即當時，函數在上是增函數，在上是減函數，
所以的最小值產生于與之間，又，
當時，最小值為；
當時，最小值為，
綜上所述，當時，函數的最小值是，
當時，函數的最小值是.