Question

【題目】如圖， 是 直徑， 所在的平面， 是圓周上不同于 的動點.

（1）證明：平面 平面 ；
（2）若 ，且當二面角 的正切值為 時，求直線 與平面 所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ 在圓 上， 為圓 的直徑，
∴ ，
又∵ 所在的平面，∴ ，
而 ，∴ 平面 ，
由于 平面 ，∴平面 平面
（2）解：如圖，過 作 于 ，連接 ，

∵ 平面 ，∴ ，
∴ 平面 ，則 即為所求的角，
∵ 平面 ，
∴ 為二面角 的平面角．
又 ， ，∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
即直線 與平面 所成的角的正弦值為 ．
【解析】(1)根據題意首先利用圓的性質可得 B C ⊥ AC，利用線面垂直可得 B C ⊥ P A再根據線面垂直的判定定理即可得出B C ⊥ 平面 P A C 然后即可得出面面垂直。(2)首先根據二面角的定義可得二面角的平面角 ∠ P C A，再根據題意作出輔助線進而得出直線AB與平面PBC所成的角在結合解三角形的知識即可得出結論。
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的判定和直線與平面垂直的性質，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；垂直于同一個平面的兩條直線平行即可以解答此題．