Question

【題目】已知點 及圓 .
（1）設過點 的直線 與圓 交于 兩點，當 時，求以線段 為直徑的圓 的方程；
（2）設直線 與圓 交于 兩點，是否存在實數 ，使得過點 的直線 垂直平分弦 ？若存在，求出實數 的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：由于圓 的圓心 ，半徑為 ， ，而弦心距 ，
所以 ，所以 為 的中點，所以所求圓的圓心坐標為 ，半徑為 ，
故以 為直徑的圓 的方程為：
（2）解：把直線 及 代入圓 的方程，消去 ，整理得：
，由于直線 交圓 于 ， 兩點，故 ，即 ，解得 ．則實數 的取值范圍是 ．
設符合條件的實數 存在，由于 垂直平分弦 ，故圓心 必在直線 上，所以 的斜率 ，所以 ，由于 ，故不存在實數 ，使得過點 的直線 垂直平分弦 ．
【解析】(1)首先根據題意求出圓的半徑和圓心的坐標，再利用點到直線的距離公式求出弦心距由題意可知P 為 M N 的中點，所以可求出圓的圓心坐標和 半徑為的值，進而得到圓的方程。(2)根據題意聯立直線和圓的方程消元整理得到關于x的方程。由題意直線和圓由兩個交點故該方程的Δ>0進而求出a的取值范圍，假設a存在結合 l2 垂直平分弦 A B ，故圓心 C ( 3 , 2 ) 必在直線 l 2 上，求出l2的斜率進而得到直線AB的斜率即a的值，該值不在a的取值范圍內所以滿足條件的a的值是不存在的。