Question

【題目】已知函數 ， .
（1）若函數 在 上是減函數，求實數 的取值范圍；
（2）是否存在整數 ，使得 的解集恰好是 ，若存在，求出 的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：令 ，則 .
當 ，即 時， 恒成立，
所以 .
因為 在 上是減函數，
所以 ，解得 ，
所以 .
由 ，解得 或 .
當 時， 的圖象對稱軸 ，
且方程 的兩根均為正，
此時 在 為減函數，所以 符合條件.
當 時， 的圖象對稱軸 ，
且方程 的根為一正一負，
要使 在 單調遞減，則 ，解得 .
綜上可知，實數 的取值范圍為
（2）解：假設存在整數 ，使 的解集恰好是 ，則
①若函數 在 上單調遞增，則 ， 且 ，
即
作差得到 ，代回得到： ，即 ，由于 均為整數，
故 ， ， 或 ， ， ，經檢驗均不滿足要求；
②若函數 在 上單調遞減，則 ， 且 ，
即
作差得到 ，代回得到： ，即 ，由于 均為整數，
故 ， ， 或 ， ， ，經檢驗均不滿足要求；
③若函數 在 上不單調，則 ， 且 ，
即 作差得到 ，代回得到： ，即 ，由于 均為整數，
故 ， ， 或 ， ， ，，經檢驗均滿足要求；
綜上：符合要求的整數 、 是 或
【解析】(1)首先求出對稱軸根據題意分情況討論區間在對稱軸的右邊，且f(0)不小于0以及區間在對稱軸的左邊，且f(0)不大于0，分別解出兩種情況下的m的取值范圍即可。(2)根據題意假設存在整數a、b使得 a ≤ f ( x ) ≤ b 的解集恰好是 [ a , b ] ，則 f ( a ) = a ， f ( b ) = b，代入數值求出a、b的值再代入到不等式檢驗即可。