Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)于任意x∈R都有f（x+1）=f（x-1）．且在區(qū)間[2，3]上，f（x）=-2（x-3）²+4．
（1）求f(

3

2

)的值；
（2）求出曲線y=f（x）在點(diǎn)(

3

2

，f(

3

2

))處的切線方程；
（3）若矩形ABCD的兩頂點(diǎn)A、B在x軸上，兩頂點(diǎn)C、D在函數(shù)y=f（x）（0≤x≤2）的 圖象上，求這個(gè)矩形面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對(duì)于任意x∈R都有f（x+1）=f（x-1）可以求得函數(shù)周期為2，再由f（x）在區(qū)間[2，4]上，f（x）=-2（x-3）²+4上的解析式，求出函數(shù)在[0，2]上的解析式，直接代入求解；
（2）求出點(diǎn)(

3

2

，f(

3

2

))，對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與斜率的關(guān)系，求出直線的斜率，從而根據(jù)點(diǎn)斜式求出切線方程；
（3）已知矩形ABCD的兩頂點(diǎn)A、B在x軸上，兩頂點(diǎn)C、D在函數(shù)y=f（x）（0≤x≤2）的 圖象上，可以求出直線在[0，2]上的解析式，設(shè)出A，B兩點(diǎn)，根據(jù)矩形面積公式代入求出S，再利用導(dǎo)數(shù)求其最大值；

解答：解：（1）∵任意x∈R都有f（x+1）=f（x-1），可得f（x+2）=f（x），函數(shù)周期為2，
對(duì)設(shè)0≤x≤2，2≤x+2≤4，
可得f（x）=f（x+2）=-2（x-1）²+4，
∴f(

3

2

)=-2（

3

2

-1）²+4=

7

2

；
（2）曲線y=f（x）在點(diǎn)（

3

2

，-

1

2

），f′（x）=-4（x-3），可以k=f′（

3

2

）=-4（

3

2

-3）=6，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)(

3

2

，f(

3

2

))處的切線方程，
y-（-

1

2

）=6（x-

3

2

），化簡(jiǎn)得，y=6x-

19

2

；
（3）矩形ABCD的兩頂點(diǎn)A、B在x軸上，
兩頂點(diǎn)C、D在函數(shù)y=f（x）（0≤x≤2）的 圖象上，
可以設(shè)C（x₂，y₂），D（x₁，y₁），x₂＞x₁，A的橫坐標(biāo)為x₁，B的橫坐標(biāo)為x₂，
可知f（x）在區(qū)間[0，2]上，f（x）=f（x+2）=-2（x-1）²+4，
∵C（x₂，y₂），D（x₁，y₁），
∴矩形的面積為S=（x₂-x₁）y₁=（x₂-x₁）[-2（x-1）²+4]，
∵x₁+x₂=2，可得x₂=2-x₁，0＜x₁＜1，
∴S=（x₂-x₁）[-2（x-1）²+4]=（2-x₁）[-2x₁²-2+4x₁+4]=（2x₁-2）（2x₁²-4x₁-2）=4x₁³-12x₁²+4x₁+4
∴S′=12x₁²-24x₁+4=4（3x₁²-6x₁+1）=0，
∴x₁=

6±2 6

2×3

=1±

6

3

，
當(dāng)x＞1+

6

3

或x＜1-

6

3

時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)1-

6

3

＜x＜1+

6

3

時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為增函數(shù)，
∴f（x）在x=1-

6

3

處取得極大值也是最大值，
∴f（x）_max=f（1-

6

3

）=[2-2（1-

6

3

）][-2（1-

6

3

-1）²+4]=

2 6

3

×

8

3

=

16 6

9

，
∴這個(gè)矩形面積的最大值為：

16 6

9

；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程以及函數(shù)周期性的利用，此題是一道中檔題，計(jì)算量比較大，考查學(xué)生的計(jì)算能力．