Question

設f（x）是定義在R上的奇函數，且f（1）=0，當x＞0時，有f（x）＞xf′（x）恒成立，則不等式xf（x）＞0的解集為（　　）

A．（-∞，0）∪（0，1）

B．（-∞，-1）∪（0，1）

C．（-1，0）∪（1，+∞）

D．（-1，0）∪（0，1）

Answer 1

分析：由已知當x＞0時總有xf′（x）＜f（x）成立，可判斷函數g（x）=

f(x)

x

為減函數，由f（x）是定義在R上的奇函數，可得g（x）為（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數，根據函數g（x）在（0，+∞）上的單調性和奇偶性，結合g（x）的圖象，解不等式即可

解答：解：設g（x）=

f(x)

x

則g（x）的導數為g′（x）=

xf，(x)-f(x)

x2

∵當x＞0時總有xf′（x）＜f（x）成立，即當x＞0時，g′（x）＜0，
∴當x＞0時，函數g（x）=

f(x)

x

為減函數，
又∵g（-x）=

f(-x)

-x

=

f(x)

x

=g（x）
∴函數g（x）為定義域上的偶函數
又∵g（1）=

f(1)

1

=0
∴函數g（x）的圖象如圖：數形結合可得
∵xf（x）＞0且，f（x）=xg（x）（x≠0）
∴x²•g（x）＞0
∴g（x）＞0
∴0＜x＜1或-1＜x＜0
故選D

點評：本題主要考查了利用導數判斷函數的單調性，并由函數的奇偶性和單調性解不等式，屬于綜合題．