Question

【題目】已知不等式對一切都成立，則的最小值是（ ）

A. B. C. D. 1

Answer 1

【答案】C

【解析】令，則

若a≤0，則y′＞0恒成立，x＞﹣1時函數遞增，無最值．

若a＞0，由y′=0得：x=，

當﹣1＜x＜時，y′＞0，函數遞增；

當x＞時，y′＜0，函數遞減．

則x=處取得極大值，也為最大值﹣lna+a﹣b﹣2，

∴﹣lna+a﹣b﹣2≤0，

∴b≥﹣lna+a﹣2，

∴≥1﹣﹣，

令t=1﹣﹣，

∴t′=，

∴（0，e﹣1）上，t′＜0，（e﹣1，+∞）上，t′＞0，

∴a=e﹣1，tmin=1﹣e．

∴的最小值為1﹣e．

點晴:本題主要考查用導數研究不等式恒成立問題. 解決這類問題的一種方法法是：通過變量分離將含參函數的問題轉化為不含參的確定函數的最值問題，本題中a≤0時，則y′＞0恒成立，x＞﹣1時函數遞增，無最值．a＞0時x=處取得極大值，也為最大值﹣lna+a﹣b﹣2≤0，可得b≥﹣lna+a﹣2，于是≥1﹣﹣，令t=1﹣﹣，然后利用導數研究這個函數的單調性、極值和最值，可得的最小值.