Question

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，其離心率為，又拋物線在點(diǎn)處的切線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線的斜率分別為，是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意列出關(guān)于 、 、的方程組，結(jié)合性質(zhì) ，求出 、 、，即可得結(jié)果；（2）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式可知，即可求得 的值.

試題解析：(1) 拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，它過軸上點(diǎn)， 橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為即

又,

橢圓的方程為

(2)設(shè), 的方程為,

聯(lián)立

,

，

存在常數(shù)。

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及解析幾何中的存在性問題，屬于難題.解決存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在，注意：①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；③當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法題很難時(shí)采取另外的途徑.