Question

【題目】若各項均不為零的數列的前項和為，數列的前項和為，且，.

（1）證明數列是等比數列，并求的通項公式；

（2）設，是否存在正整數，使得對于恒成立.若存在，求出正整數的最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析，；（2）存在，最小值為1.

【解析】

(1) ，①，得，②,然后②-①得,③

當時，，④, ③-④得,驗證時也成立,從而可證數列是等比數列,由定義可求得通項公式,

(2)求出后,利用裂項求和可求得,再根據恒成立可求得的最小值.

，①，，②

由數列的前項和為，數列的前項和為及②-①得

,

,

，，③

從而當時，，④

③-④得，即，所以，

，.

，令，得，，.

當時，由得，

由知，此時.

數列是以為首項，以為公比的等比數列，且.

（2）,

,

.

假設存在正整數，使得對于恒成立，

則,所以的最小值為1.