Question

對函數(shù)Φ（x），定義f_k（x）=Φ（x-mk）+nk（其中x∈（mk，m+mk]，k∈Z，m＞0，n＞0，且m、n為常數(shù)）為Φ（x）的第k階階梯函數(shù)，m叫做階寬，n叫做階高，當(dāng)階寬為2，階高為3時，若Φ（x）=2^x．
（1）求f（x）和f_k（x）的解析式；
（2）求證：Φ（x）的各階階梯函數(shù)圖象的最高點共線．

Answer 1

【答案】分析：（1）把k=0代入定義f_k（x）=Φ（x-mk）+nk，可得f（x）=Φ（x），由題意可得 f_k（x）=Φ（x-2k）+3k 的解析式．
（2）利用 f_k（x）=Φ（x-2k）+3k 是單調(diào)增函數(shù)，求出Φ（x）的第k階階梯函數(shù)圖象的最高點的坐標(biāo)，
再求出第k+1階階梯函數(shù)圖象的最高點的坐標(biāo)，計算這兩個最高點的連線的斜率是個定值，從而得出
 Φ（x）的各階階梯函數(shù)圖象的最高點共線．
解答：解：（1）f（x）=Φ（x）=2^x ，x∈（0，2]，f_k（x）=Φ（x-2k）+3k=2^x-2k+3k，x∈（2k，2k+2]，k∈Z，
 （2）∵f_k（x）=Φ（x-2k）+3k=2^x-2k+3k，x∈（2k，2k+2]，k∈Z  是增函數(shù)，
∴Φ（x）的第k階階梯函數(shù)圖象的最高點為P_K（2k，3k+4），
第k+1階階梯函數(shù)圖象的最高點為P_K+1（2k+4，3k+7），
∴過 P_k、p_k+1這兩點的直線斜率為 K==，
同理可證 過 P_K+1、P_K+2  這兩點的直線斜率也為 ，
∴Φ（x）的各階階梯函數(shù)圖象的最高點共線．
點評：本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及證明多個點共線的方法（證明任意兩點連線的斜率為定值）．