Question

已知函數f（x）是定義在R上的單調函數滿足f（-3）=2，，且對任意的實數a∈R有f（-a）+f（a）=0恒成立．
（Ⅰ）試判斷f（x）在R上的單調性，并說明理由；
（Ⅱ）解關于x的不等式f(

2-x

x

)＜2．

Answer 1

分析：（I）根據函數奇偶性的定義，不難得到f（x）是定義在R上的奇函數，再根據已知條件函數是單調函數且f（-3）＞f（0），可得函數是R上的減函數．
（II）原不等式可化為：f(

2-x

x

)＜f(-3)，再由（I）的單調性可得

2-x

x

＞-3，最后根據分式不等式的解法即可得到原不等式的解集．

解答：解：（Ⅰ）結論：f（x）是R上的減函數．理由如下
∵對任意的實數a∈R有f（-a）+f（a）=0
∴f（-a）=-f（a）對任意的實數a∈R成立，可得函數f（x）是定義在R上的奇函數，
取x=0，得f（0）=0
∵f（x）在R上是單調函數，f（-3）=2＞0=f（0）
∴f（x）為R上的減函數．
（Ⅱ）由f（-3）=2，不等式f(

2-x

x

)＜2等價于f(

2-x

x

)＜f(-3)
又∵f（x）為R上的減函數，∴原不等式可化為：

2-x

x

＞-3
整理得：

2x+2

x

＞0，解之得：x＜-1或x＞0
∴不等式f(

2-x

x

)＜2的解集為（-∞，-1）∪（0，+∞）．

點評：本題給出抽象函數為奇函數且在E上為減函數，求關于x的不等式的解集，著重考查了函數單調性的奇偶性等知識，屬于基礎題．