Question

（1）已知函數f（x）是定義在R上的增函數，則函數y=f（|x-1|）-1的圖象可能是

B

（2）使得函數f（x）=

1

5

x²-

4

5

x-

7

5

（a≤x≤b）的值域為[a，b]（a＜b）的實數對（a，b）有

2

對．

Answer 1

分析：（1）根據函數f（x）是定義在R上的增函數，確定函數y=f（|x-1|）-1的取值關系，利用排除法即可確定函數圖象．
（2）根據二次函數的圖象和性質解方程即可．

解答：解：（1）設y=g（x）=f（|x-1|）-1，
則g（0）=f（1）-1，g（1）=f（0）-1，g（2）=f（1）-1，
∴g（0）=g（2），排除A，C，
又∵f（x）是定義在R上的增函數，
∴g（0）＞g（1），排除D，
故選：B．
（2）f（x）=

1

5

（x-2）²-

11

5

，為開口向上的拋物線，
∴x在[2，∞）上單調增，在（-∞，2]上單調減
①2≤a＜b，此時[a，b]在f（x）的單調增區間上，
則最大值b=f（b），最小值a=f（a），
即a、b為方程x=f（x）的兩根
x=f（x）=

1

5

x²-

4

5

x-

7

5

，即x²-9x-7=0的兩根為a、b，
由韋達定理知ab=-7，即a、b異號，這與0＜2＜a＜b矛盾，
∴這種情況不可能．
②a＜b≤2，此時[a，b]在f（x）的單調減區間上，
則最大值b=f（a）=

1

5

（a-2）²-

11

5

①，最小值a=f（b）=

1

5

（b-2）²-

11

5

②
由①-②，得b-a=

1

5

[（a-2）²-（b-2）²）]=

1

5

（a+b-4）（a-b），
由于a＜b，所以a-b≠0，
可得-1=

1

5

（a+b-4），a+b=-1
可得a=-1-b，將其代入①，得b=

1

5

（-3-b）²-

11

5

且b=-1-a，將其代入②，得a=

1

5

（-3-a）²-

11

5

則a、b為方程x=

1

5

（-3-x）²-

11

5

的兩根，
x²+x-2=0，
解得x=1，-2，由于a＜b，
所以a=-2，b=1，滿足a＜b≤2
所以（a，b）=（-2，1）是一組解
③若a＜2＜b，此時[a，b]包含x=2，
則最小值a=f（2）=-

11

5

，滿足a＜2，而f（x）在[a，2]上單調減，在[2，b]上單調增
所以最大值為f（a）或f（b），最大值須進一步分類討論
注意到|a-2|=

21

5

，所以進行如下分類：
1°|b-2|＞

21

5

，即b＞

31

5

，
此時由于|b-2|＞|a-2|，f（b）=

1

5

（b-2）²-

11

5

＞f（a）=

1

5

（a-2）²-

11

5

，
即最大值b=f（b）=

1

5

（b-2）²-

11

5

，b²-9b-7=0，解得b=

1

2

（9±

109

），
其中b=

1

2

（9±

109

），滿足b＞

31

5

，
所以（a，b）=（-

11

5

，

1

2

（9±

109

））是另一組解，
2°|b-2|＜

21

5

，即2＜b＜

31

5

，
此時由于|b-2|＜|a-2|，f（b）=

1

5

（b-2）²-

11

5

，
f（a）=

1

5

（a-2）²--

11

5

，
即最大值b=f（a）=f（-

11

5

）=-

274

125

＜0，與b＞2矛盾，所以這種情況不可能．
綜上所述，滿足題意的（a，b）有2對：（-2，1），（-

11

5

，

1

2

（9±

109

））．
故答案為：B，2．

點評：本題主要考查函數圖象的識別和判斷，以及函數定義域和值域的應用，考查學生的運算能力，綜合性較強，難度較大．