Question

已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．則：
（1）f（1）=

 

；
（2）不等式f（log₂x）＜0的解集是

 

．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1即可求得f（1）；
（2）利用函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，由（1）得到的f（1）=0即可求得不等式f（log₂x）＜0的解集．

解答：解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1得：f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
（2）∵f（1）=0，
∴f（log₂x）＜0?f（log₂x）＜f（1），
又函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴0＜log₂x＜1，
解得：x∈（1，2）．
故答案為：（1）0；（2）（1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查對(duì)數(shù)不等式的解法，屬于中檔題．