Question

【題目】設f（x）=log 為奇函數，a為常數，
（1）求a的值；
（2）證明f（x）在區間（1，+∞）上單調遞增；
（3）若x∈[3，4]，不等式f（x）＞（ ）x+m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函數，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴ ，

∴ ，

即（1+ax）（1﹣ax）=﹣（x+1）（x﹣1），

即1﹣a2x2=1﹣x2，

即a2=1，

∴a=﹣1或a=1，

若a=1，則 = 不滿足條件，舍去，

故a=﹣1

（2）證明：∵ ，（x＞1），

設1＜x1＜x2，則△x=x2﹣x1＞0

∵ ，

∴

∴△y=f（x2）﹣f（x1）＞0，f（x）在區間（1，+∞）上單調遞增

（3）解：設 ，

則g（x）在[3，4]上是增函數

∴g（x）＞m對x∈[3，4]恒成立，

∴m＜g（3）=﹣

【解析】（1）根據對數的基本運算以及函數奇偶性的性質建立條件關系即可求a的值；（2）根據函數單調性的定義即可證明f（x）在區間（1，+∞）上單調遞增；（3）結合函數的單調性，利用參數分離法即可求出m的取值范圍．