Question

【題目】設函數f（x）是定義在R上的偶函數，對任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且當x∈[﹣2，0]時，f（x）=（ ）x﹣1，若在區間（﹣2，6]內關于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有三個不同的實數根，則a的取值范圍是（ ）
A.（ ，2）
B.（ ，2）
C.[ ，2）
D.（ ，2]

Answer 1

【答案】B
【解析】解：設x∈[0，2]，則﹣x∈[﹣2，0]，

∴f（﹣x）=（ ）﹣x﹣1=2x﹣1，

∵f（x）是定義在R上的偶函數，

∴f（x）=f（﹣x）=2x﹣1．

∵對任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），

∴當x∈[2，4]時，（x﹣4）∈[﹣2，0]，∴f（x）=f（x﹣4）=xx﹣4﹣1；

當x∈[4，6]時，（x﹣4）∈[0，2]，∴f（x）=f（x﹣4）=2x﹣4﹣1．

∵若在區間（﹣2，6]內關于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有三個不同的實數根，

∴函數y=f（x）與函數y=loga（x+2）在區間（﹣2，6]上恰有三個交點，

通過畫圖可知：恰有三個交點的條件是 ，解得： ＜a＜2，

即 ＜a＜2，因此所求的a的取值范圍為（ ，2）．

所以答案是：B

【考點精析】掌握函數奇偶性的性質是解答本題的根本，需要知道在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．