Question

【題目】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：C（x）= （0≤x≤10），若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表達式．
（Ⅱ）隔熱層修建多厚時，總費用f（x）達到最小，并求最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設隔熱層厚度為xcm，由題設，每年能源消耗費用為 ．

再由C（0）=8，得k=40，因此 ．

而建造費用為C1（x）=6x，最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和

（Ⅱ） ，令f'（x）=0，即 ．

解得x=5， （舍去）．當0＜x＜5時，f′（x）＜0，當5＜x＜10時，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值點，對應的最小值為 ．

當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值為70萬元．

【解析】（Ⅰ）由題意可得每年能源消耗費用為 C ( x ) = ,又根據C（0）=8，得k=40，因此 C ( x ) =，建造費用為C1（x）=6x，最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和 f ( x ) = 20 C ( x ) + C1 ( x ) = 20 × + 6 x = + 6 x ( 0 ≤ x ≤ 10）
（Ⅱ）根據求導求最值令f'（x）=0即解得x=5， x = （舍去）.當0＜x＜5時，f′（x）＜0，當5＜x＜10時，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值點，對應的最小值為 f ( 5 ) = 6 × 5 + = 70 ．當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值為70萬元