Question

【題目】設(shè)，函數(shù).

（1）若，求曲線在處的切線方程；

（2）若無零點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若有兩個相異零點， ，求證：

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，再根據(jù)點斜式求切線方程（2）由于無零點，且函數(shù)恒有負值，所以函數(shù)最大值必小于零，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)最值，即得實數(shù)的取值范圍；也可先變量分離，根據(jù)兩函數(shù)交點情況求實數(shù)的取值范圍（3）利用分析法證不等式，要證，只要證，根據(jù)零點條件可得，令，構(gòu)造函數(shù)， ，利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性，即得，逆推可得結(jié)論

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為， ，

當時， ，則切線方程為，

即.

（2）①若時，則， 是區(qū)間上的增函數(shù)，

∵， ，

∴，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點；

②若， 有唯一零點；

③若，令，得，

在區(qū)間上， ，函數(shù)是增函數(shù)；

在區(qū)間上， ，函數(shù)是減函數(shù)；

故在區(qū)間上， 的極大值為，

由于無零點，須使，解得，

故所求實數(shù)的取值范圍是.

（3）要證，兩邊同時取自然對數(shù)得.

由得，得.

所以原命題等價于證明.

因為，故只需證，即.

令，則，設(shè)（），只需證.

而，故在單調(diào)遞增，所以.

綜上得.