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【題目】如圖所示，直三棱柱的底面為等腰直角三角形，其中，點是線段的中點.

（Ⅰ）若點滿足，且，求的值；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.

【解析】

（I）根據直三棱柱的性質及所給數據，將轉化為，則在中直接求解即可；

（II）建立空間直角坐標系，利用法向量即可求二面角的余弦值.

（Ⅰ）因為在側面中，，，點是棱的中點，

所以，，則.

因為平面，所以.

由，得平面，

所以，又因為，

，所以平面，

所以.

在中，，，，，

則，所以，，

又因為，所以.

（Ⅱ）

如圖：以為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，

則，，，，

，，，，

設平面的一個法向量為，

則

，令，得，

設平面的一個法向量為，

則

令，得，

設二面角的平面角為，

則，

故二面角的余弦值為.

練習冊系列答案

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（2）學校計劃在高二上學期開設選修中的“物理”和“歷史”兩個科目，為了了解學生對這兩個科目的選課情況，對在（1）的條件下抽取到的名學生進行問卷調杳（假定每名學生在這兩個科目中必須洗擇一個科目且只能選擇一個科目）.下表是根據調查結果得到的列聯表，請將列聯表補充完整，并判斷是否有的把握認為選擇科目與性別有關？說明你的理由；

性別	選擇物理	選擇歷史	總計
男生		50
女生	30
總計

（3）在（2）的條件下，從抽取的選擇“物理”的學生中按分層抽樣抽取6人，再從這6名學生中抽取2人，對“物理”的選課意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率.

附：，其中.

	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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（1）已知抽取的名學生中含男生55人，求的值；

（2）學校計劃在高一上學期開設選修中的“物理”和“地理”兩個科目，為了了解學生對這兩個科目的選課情況，對在（1）的條件下抽取到的名學生進行問卷調查（假定每名學生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目），下表是根據調查結果得到的列聯表. 請將列聯表補充完整，并判斷是否有 99%的把握認為選擇科目與性別有關？說明你的理由；