Question

【題目】已知函數f（x）＝ax﹣（a+2）lnx2，其中a∈R．

（1）當a＝4時，求函數f（x）的極值；

（2）試討論函數f（x）在（1，e）上的零點個數．

Answer 1

【答案】（1）極大值6ln2，極小值4；（2）分類討論，詳見解析．

【解析】

（1）把a＝4代入后對函數求導，然后結合導數可求函數的單調性，進而可求極值；

（2）先對函數求導，然后結合導數與單調性關系對a進行分類討論，確定導數符號，然后結合導數與函數的性質可求．

（1）當a＝4時，f（x）＝4x﹣6lnx2，，x＞0，

易得f（x）在（0，），（1，+∞）上單調遞增，在（）上單調遞減，

故當x時，函數取得極大值f（）＝6ln2，當x＝1時，函數取得極小值f（1）＝4，

（2），

當a≤0時，f（x）在（1，e）上單調遞減，f（x）＜f（1）＝a≤0，此時函數在（1，e）上沒有零點；

當a≥2時，f（x）在（1，e）上單調遞增，f（x）＞f（1）＝a≥2，此時函數在（1，e）上沒有零點；

當0即時，f（x）在（1，e）上單調遞減，由題意可得，，

解可得，0，

當即時，f（x）在（1，）上單調遞減，在（）上單調遞增，

由于f（1）＝a＞0，f（e）＝a（e﹣1），

令g（a）＝f（）＝2﹣（a+2）lna+2＝（a+2）lna﹣（1+ln2）a+4﹣2ln2，

令h（a），則0，

所以h（a）在（）上遞減，h（a）＞h（2）＝1＞0，即g′（a）＞0，

所以g（a）在（）上遞增，g（a）＞g（）＝2，

即f（）＞0，

所以f（x）在（1，e）上沒有零點，

綜上，當0＜a時，f（x）在（1，e）上有唯一零點，

當a≤0或a時，f（x）在（1，e）上沒有零點．