Question

【題目】如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：DA1⊥ED1；
（2）若直線DA1與平面CED1成角為45°，求的值．

Answer 1

【答案】
證明：（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，1，2），A1（1，0，1），
設(shè)E（1，m，0）（0≤m≤1）
=（1，0，1），=（﹣1，﹣m，1），
=﹣1+0+1=0，
所以DA1⊥ED1．
解：（2）設(shè)平面CED1的一個(gè)法向量為=（x，y，z），
∵=(0,-1,1)，=（1，m﹣1，0），
∴，取z=1，得y=1，x=1﹣m，得=（1﹣m，1，1）．
∵直線DA1與平面CED1成角為45o，∴sin45°===，
解得m=．
∴的值為．

【解析】（1）根據(jù)已知條件中的垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，要證明DA1⊥ED1，只需證明=0即可，建立空間直角坐標(biāo)系后，寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到向量和的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算．
（2）先利用求平面法向量的計(jì)算公式，求出平面CED1的法向量，由已知直線與平面成角為45°，利用夾角公式得到方程，解出的值．