Question

【題目】【2017四川宜賓二診】如甲圖所示，在矩形中， ， ， 是的中點，將沿折起到位置，使平面平面，得到乙圖所示的四棱錐．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）取中點，連，證得，又平面平面，證得平面，證明再利用線面的判定定理，即可證得平面

（Ⅱ）由題意，取中點，以為坐標原點，分別以， 為軸正方向建立空間直角坐標系，由（Ⅰ）知： 是平面的法向量，設平面的法向量為，利用空間向量的夾角公式，即可求解結論.

試題解析：

（Ⅰ）如下圖，取中點，連，在中， ， ，又平面平面， 平面， 平面， ，即．在中，易得， ， ，

，又，

平面

（Ⅱ）由題意，取中點，以為坐標原點，分別以， 為軸正方向建立間直角坐標系如圖所示，則，由（Ⅰ）知： 是平面的法向量，設平面的法向量為，則

，令，則， ，

，設二面角的平面角為，

則 ，

由圖可知，二面角的平面角為鈍角，

，即：二面角的余弦值為