Question

【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家．某市為了制定合理的節水方案，對居民用水情況進行了調查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸）．將數據按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求直方圖中a的值；
（Ⅱ）設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數，并說明理由；
（Ⅲ）估計居民月均水量的中位數．

Answer 1

【答案】解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，
整理可得：2=1.4+2a，
∴解得：a=0.3．
（II）估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數為3.6萬，理由如下：
由已知中的頻率分布直方圖可得月均用水量不低于3噸的頻率為（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，
又樣本容量為30萬，
則樣本中月均用水量不低于3噸的戶數為30×0.12=3.6萬．
（Ⅲ）根據頻率分布直方圖，得；
0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48＜0.5，
0.48+0.5×0.52=0.74＞0.5，
∴中位數應在（2，2.5]組內，設出未知數x，
令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5，
解得x=0.04；
∴中位數是2+0.04=2.04．
【解析】（I）先根據頻率分布直方圖中的頻率等于縱坐標乘以組距求出9個矩形的面積即頻率，再根據直方圖的總頻率為1求出a的值；（II）根據已知中的頻率分布直方圖先求出月均用水量不低于3噸的頻率，結合樣本容量為30萬，進而得解．（Ⅲ）根據頻率分布直方圖，求出使直方圖中左右兩邊頻率相等對應的橫坐標的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用頻率分布直方圖和平均數、中位數、眾數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；⑴平均數、眾數和中位數都是描述一組數據集中趨勢的量；⑵平均數、眾數和中位數都有單位；⑶平均數反映一組數據的平均水平，與這組數據中的每個數都有關系，所以最為重要，應用最廣；⑷中位數不受個別偏大或偏小數據的影響；⑸眾數與各組數據出現的頻數有關，不受個別數據的影響，有時是我們最為關心的數據．