Question

【題目】已知函數.

（1）當時，比較與1的大小；

（2）當時，如果函數僅有一個零點，求實數的取值范圍；

（3）求證：對于一切正整數，都有.

Answer 1

【答案】（1）當時， ，當時， ，當時， ；（2）或；(3)證明見解析．

【解析】試題分析： （1）當時， ，其定義域為，令 在上是增函數故當時， ；當時， ；當時， ；（2）當時 ，其定義域為，令

當或時， ；當時， 函數在上遞增，在上遞減，在上遞增 的極大值為，極小值為，又當時， ；當時， ， 或；（3）根據（1）的結論知當時， 即當時， ，令

所以．

試題解析： （1）當時， ，其定義域為，因為，所以在上是增函數，

故當時， ；當時， ；

當時，

（2）當時， ，其定義域為，

，令得，

因為當或時， ；當時， ，

所以函數在上遞增，在上遞減，在上遞增且的極大值為，極小值為，又當時， ；當時， ，

因為函數僅有一個零點，所以函數的圖象與直線僅有一個交點．所以或；

（3）根據（1）的結論知當時， ．

即當時， ，即令，則有，

從而得，

故得，

即，

所以．