Question

【題目】如圖，設橢圓： 的離心率為， 分別為橢圓的左、右頂點， 為右焦點，直線與的交點到軸的距離為，過點作軸的垂線， 為上異于點的一點，以為直徑作圓.

（1）求的方程；

（2）若直線與的另一個交點為，證明：直線與圓相切.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)結合題意可求得， ，則的方程為.

(2)由題意可得，直線與圓相切時，直線的斜率為，結合(1)中求得的橢圓方程即可證得題中的結論.

試題解析：

（1）解：由題可知， ，∴， ，

設橢圓的方程為，

由，得，∴， ， ，

故的方程為.

（2）證明：由（1）可得： ，設圓的圓心為，則，

圓的半徑為，

直線的方程為.

設過與圓相切的直線方程為，

則，整理得： ，

由，得，

又∵，

∴直線與圓相切.