Question

【題目】已知集合P={x|2x2﹣5x+2≤0}，函數y=log2（ax2+2）的定義域為S
（1）若P∩S≠，求實數a的取值范圍
（2）若方程log2（ax2+2）=2在 上有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：集合P={x|2x2﹣5x+2≤0}={x| }，由已知Q={x|ax2+2＞0}，若P∩Q≠，

則說明在[ ，2]內至少有一個x值，使不等式ax2+2＞0，即，

在[ ，2]內至少有一個x值，使a＞﹣ 成立，﹣ 的最小值為：﹣8，

∴a的取值范圍是a＞﹣8；

（2）解：∵方程log2（ax2+2）=2在 上內有解，

∴ax2+2=4即ax2﹣2=0在 內有解，分離a與x，得a= ∈ ．

即a的取值范圍是： ．

【解析】（1）是一個存在性的問題，此類題求參數一般轉化為求最值．若是存在大于某式的值成立，一般令其大于其最小值，（2）也是一個存在性的問題，其與（1）不一樣的地方是其為一個等式，故應求出解析式對應函數的值域，讓該參數是該值域的一個元素即可保證存在性．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用集合的交集運算的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握交集的性質：（1）A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，則AB，反之也成立．