Question

設函數f(x)＝，g(x)＝－x²＋bx，若y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象有且僅有兩個不同的公共點A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則下列判斷正確的是 (　　)．

A．x1＋x2＞0，y1＋y2＞0

B．x1＋x2＜0，y1＋y2＞0

C．x1＋x2＞0，y1＋y2＜0

D．x1＋x2＜0，y1＋y2＜0

Answer 1

C

設F(x)＝x³－bx²＋1，則方程F(x)＝0與f(x)＝g(x)同解，
故其有且僅有兩個不同零點 x₁，x₂.
∵F′(x)＝3x²－2bx，由F′(x)＝0，得x＝0或x＝b.
易知x＝0，x＝b為F(x)的極值點．
又F(0)＝1.
由題意F(x)的圖象與x軸有兩個公共點．
因此，F＝0，從而b＝.
不妨設x₁＜x₂，則x₂＝b＝.
所以F(x)＝(x－x₁)(x－)²，比較F(x)的系數．
∴－x₁＝1，∴x₁＝－.
故x₁＋x₂＝＞0，
y₁＋y₂＝＝＜0.