Question

某分公司經銷某種品牌產品，每件產品的成本為3元，并且每件產品需向總公司交a元(3≤a≤5)的管理費，預計當每件產品的售價為x元(9≤x≤11)時，一年的銷售量為(12－x)²萬件．
(1)求分公司一年的利潤L(萬元)與每件產品的售價x的函數關系式；
(2)當每件產品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大？并求出L的最大值Q(a)．

Answer 1

（1）L＝(x－3－a)·(12－x)²，x∈[9,11]．（2）當每件售價為元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q(a)＝4 ³(萬元)．

(1)分公司一年的利潤L(萬元)與售價x的函數關系式為L＝(x－3－a)·(12－x)²，x∈[9,11]．
(2)L′(x)＝(12－x)²－2(x－3－a)(12－x)＝(12－x)·(18＋2a－3x)．
令L′＝0，得x＝6＋a或x＝12(不合題意，舍去)．
∵3≤a≤5，∴8≤6＋a≤.
在x＝6＋a兩側，L′的值由正變負．
所以①當8≤6＋a<9，
即3≤a<時，
L_max＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)²＝9(6－a)；
②當9≤6＋a≤，
即≤a≤5時，
L_max＝L ²
＝4³，所以Q(a)＝
故若3≤a<，則當每件售價為9元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)(萬元)；若≤a≤5，則當每件售價為元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q(a)＝4 ³(萬元)