Question

某鎮政府為了更好地服務于農民，派調查組到某村考察．據了解，該村有100戶農民，且都從事蔬菜種植，平均每戶的年收入為3萬元．為了調整產業結構，該鎮政府決定動員部分農民從事蔬菜加工．據估計，若能動員x(x＞0)戶農民從事蔬菜加工，則剩下的繼續從事蔬菜種植的農民平均每戶的年收入有望提高2x%，而從事蔬菜加工的農民平均每戶的年收入將為3 (a＞0)萬元．
(1)在動員x戶農民從事蔬菜加工后，要使從事蔬菜種植的農民的總年收入不低于動員前從事蔬菜種植的農民的總年收入，求x的取值范圍；
(2)在(1)的條件下，要使這100戶農民中從事蔬菜加工的農民的總年收入始終不高于從事蔬菜種植的農民的總年收入，求a的最大值．

Answer 1

（1）0＜x≤50（2）5

(1)由題意，得3(100－x)(1＋2x%)≥3×100，
即x²－50x≤0，又x＞0，解得0＜x≤50.
(2)從事蔬菜加工的農民總年收入為3x萬元，
從事蔬菜種植的農民的總年收入為3(100－x)(1＋2x%)萬元．
根據題意，得3x≤3(100－x)(1＋2x%)恒成立，
即ax≤100＋x＋恒成立．
因為0＜x≤50，所以a≤＋＋1恒成立，
而＋＋1≥5，當且僅當x＝50時取等號，所以a的最大值為5.